Các ví dụ của hàm số cơ bản bao gồm:

• Phép cộng, ví dụ: (x+1)
• Phép nhân, ví dụ: (2x)
• Hàm đa thức
• e tan ⁡ x 1 + x 2 sin ⁡ ( 1 + ( ln ⁡ x ) 2 ) {\displaystyle {\dfrac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\ln x)^{2}}}\right)}
• − i ln ⁡ ( x + i 1 − x 2 ) {\displaystyle -i\ln(x+i{\sqrt {1-x^{2}}})}

Hàm số cuối cùng tương đương với arccos ⁡ x {\displaystyle \arccos x} , một hàm lượng giác ngược, trên toàn mặt phẳng phức. Do đó, nó là một hàm cơ bản.

Các hàm số không cơ bản

Một ví dụ của hàm số không cơ bản là hàm sai số

• e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t , {\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,}

Điều này không thể được nhìn thấy ngay lập tức, nhưng có thể được chứng minh sử dụng Thuật toán Risch.

• Có thể xem thêm các ví dụ khác tại Hàm số Liouville và Nguyên hàm không cơ bản.